Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/154

$\left.{\begin{aligned}&\quad x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}-mM'\\\\+\lambda &\left(x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}-mM''\right)\\\\+\mu &\left(x{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} z}}-mM'''\right)\end{aligned}}\right\}=0\,;\quad$(12)

or, quelles que soient les valeurs attribuées aux deux constantes arbitraires $\lambda$ et $\mu$, cette surface polaire passe évidemment par les $(m-1)^{3}$ points donnés par les trois équations

${\begin{aligned}&x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}\ \ +y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\ \ +z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=mM'\\\\&x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\ +y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}\ +z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=mM''\\\\&x{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} z}}=mM'''\,;\end{aligned}}$

on a donc ces deux théorèmes :

THÉORÈME VII. Si tant de surfaces du $\mathrm {m}$.ième degré qu’on voudra passent toutes par les $\mathrm {m} ^{3}$ mêmes points fixes ; les surfaces polaires d’un point quelconque de l’espace, relatives à toutes celles-là, passeront toutes par le $\mathrm {(m-1)} ^{3}$ mêmes points, également fixes.

THÉORÈME VII. Si tant de surfaces de $\mathrm {m}$.ième classe qu’on voudra touchent toutes les $\mathrm {m} ^{3}$ mêmes plans fixes ; les surfaces polaires d’un plan quelconque, relatives à toutes celles-là, toucheront toutes les $\mathrm {(m-1)} ^{3}$ mêmes plans, également fixes.

C’est là, comme l’on voit, la première partie des deux théo-