Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/151

$\left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+\lambda {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\right)x+\left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+\lambda {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}\right)y+\left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}+\lambda {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}\right)z$

$=m(M'+\lambda M'')\,;$

ou bien

$x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}-mM'$

$+\lambda \left(x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}-mM''\right)=0.\quad$(10)

Or, quelle que soit la valeur attribuée à la constante arbitraire $\lambda ,$ cette surface polaire passe évidemment par la courbe à double courbure donnée par les deux équations

$x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=mM',\quad x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=mM'',$

lesquelles ne sont l’une et l’autre que du (m-1).^ième degré seulement ; on a donc ces deux théorèmes :

THÉORÈME V. Si tant de surfaces du m.ième degré qu’on voudra se coupent toutes suivant la même courbe à double courbure ; les surfaces polaires d’un point quelconque de l’espace relatives à toutes celles-là, se couperont toutes aussi suivant une même courbe à double courbure, intersection de deux surfaces du (m-1).ième degré seulement.

THÉORÈME V. Si tant de surfaces de m.ième classe qu’on voudra sont toutes inscrites à une même surface développable ; les surfaces polaires d’un plan quelconque, relatives à toutes celles-là, seront toutes aussi inscrites à une même surface développable, circonscrite à deux surfaces de (m-1).ième classe seulement.

C’est là, comme l’on voit, la première partie des deux théorèmes de la pag. 262 du précédent volume, et les quatre autres seraient tout aussi faciles à établir.

Si l’équation $M''=0$ est homogène en $x,y,z$, elle exprimera le