Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/149

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

revient à faire tourner notre droite autour de l’origine, d’une manière tout à fait arbitraire ; sa courbe polaire variera sans cesse de situation, mais elle ne quittera pas la surface exprimée par la première de ces deux équations, puisque cette équation est indépendante de $\alpha$ et $\beta \,;$ or, cette surface n’est autre (6) que la surface polaire de l’origine ; on a donc ces deux théorèmes :

THÉORÈME III. Si une droite tourne dans l’espace autour de l’un quelconque des points de sa direction, sa courbe polaire, relative à une surface quelconque du m.^ième degré, décrira la surface polaire de ce point.

THÉORÈME III. Si une droite se meut dans l’espace sur un plan fixe, sa surface développable polaire, relative à une surface quelconque de m.^ième classe, sera constamment tangente à la surface polaire de ce plan.

Si l’on pose $\beta =k\alpha ,$ ce qui revient à supposer que notre droite, située dans le plan des $xy,$ a pour équation $y=kx,$ la dernière des équations (8) deviendra

\alpha {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+k\alpha {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,

équation qui sera satisfaite, quel que soit $k,$ en posant à la fois

\alpha {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0.

Ces équations, avec la première des équations (8), déterminant $(m-1)^{3}$ points fixes, il en résultera ces deux théorèmes :

THÉORÈME IV. Si une droite tourne autour de l’un des points de sa direction dans un plan quelconque passant par ce point, sa courbe polaire, relative à une surface quelconque du m.^ième degré, variable avec elle,

THÉORÈME IV. Si une droite se meut dans un plan de manière à passer constamment par un même point de ce plan ; sa surface développable polaire, relative à une surface quelconque de m.^ième classe, variable avec elle,