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tient donc au plus à une surface du m.^ième degré, comme la proposée ; mais nous allons voir qu’elle appartient réellement à une surface d’un degré moindre.

Lorsqu’une courbe à double courbure est donnée dans l’espace par le système de deux équations en $x,y,z,$ elle l’est également par le système de l’une d’elles et d’une combinaison quelconque de l’une et de l’autre. En conséquence, puisque la ligne de contact du cône circonscrit, qui a son sommet en $(a,b,c),$ est donnée par le système des équations (1) et (5), elle le sera aussi par la première de ces équations combinée avec l’équation

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}(x-a)+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}(y-b)+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}(z-c)=mM\,;\qquad$(6)

laquelle sera ainsi, comme l’équation (5), celle d’une surface coupant la proposée suivant la courbe de contact cherchée. Or, en vertu du théorème connu sur les fonctions homogènes, tous les termes de $m$ dimensions en $x,y,z$ disparaissent de cette équation qui ne s’élève conséquemment qu’au (m-1).^ième degré ; donc la courbe de contact se trouve sur une surface qui ne saurait excéder ce degré ; de sorte qu’en recourant au principe des polaires réciproques on a ces deux théorèmes ;

THÉORÈME I. La courbe de contact d’une surface du m.ième degré avec une surface conique circonscrite, appartient à une autre surface du (m-1).ième degré au plus[1].

THÉORÈME I. La surface développable circonscrite à une surface de m.ième classe, suivant son intersection avec un plan, touche une autre surface de (m-1).ième classe au plus.

1. M. Poncelet observe, avec beaucoup de raison (Bulletin des sciences mathématiques, mai 1828, pag. 301), que c’est par erreur que M. Bobillier