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On voit par là que toutes les surfaces du m.^ième degré qui passent par les $m^{3}$ points d’intersection de trois autres surfaces de ce degré, et en outre par un point donné, ont la même courbe d’intersection.

Concevons présentement que, sur la courbe d’intersection de deux surfaces du m.^ième degré, on prenne arbitrairement ${\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}-2$ points ; si l’on y ajoute un nouveau point quelconque de l’espace, une troisième surface, assujétie à passer par tous ces points, sera complètement déterminée ; mais nous venons de voir qu’elle le serait aussi, si on l’assujétissait à passer par ce même point et par la courbe d’intersection des deux premières ; en invoquant donc le principe de dualité, on aura ces deux théorèmes :

THÉORÈME I. Toutes les surfaces du m.ième degré qui passent par les $\mathrm {{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}-2}$ mêmes points, se coupent, en général, suivant une même courbe à double courbure.

THÉORÈME I. Toutes les surfaces de m.ième classe qui touchent les $\mathrm {{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}} .$$\mathrm {{\frac {m+3}{3}}-2}$ mêmes plans, sont, en général, circonscrites à une même surface développable.

Donc, en particulier,

Corollaire. Toutes les surfaces du second ordre qui passent par les huit mêmes points, se coupent suivant une même courbe à double courbure.

Corollaire. Toutes les surfaces du second ordre qui touchent les huit mêmes plans, sont inscrites à une même surface développable.

De même, trois surfaces du m.^ième degré se coupant en $m^{3}$ points ; si l’on prend ${\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}-3$ de ces points, et qu’on y joigne deux points quelconques de l’espace, une quatrième surface de ce degré sera tout aussi complètement déterminée, par ce système de points, qu’elle le serait par les deux dernières et par la totalité des