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$m$ sécantes communes, issues d’un même point ; or, à cause de l’homogénéité de $M''$, on a identiquement

$x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}=mM''\,;$

au moyen de quoi l’équation (10) de la courbe polaire de l’origine, se réduit simplement à

$x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}=mM'\,;$

de sorte que cette polaire est alors indépendante de la constante arbitraire $\mu \,;$ on a donc ces deux théorèmes :

THÉORÈME V. Si tant de courbes du m.ième degré qu’on voudra ont toutes les $\mathrm {m} ^{2}$ mêmes points communs, distribués $\mathrm {m}$ à $\mathrm {m}$ sur $\mathrm {m}$ droites, concourant en un même point, ce point n’aura qu’une courbe polaire unique par rapport à toutes les courbes proposées ; cette polaire contiendra conséquemment les points de contact de toutes les tangentes menées à ces courbes par le même point.

THÉORÈME V. Si tant de courbes de m.ième classe qu’on voudra ont toutes les $\mathrm {m} ^{2}$ mêmes tangentes communes, concourant $\mathrm {m}$ à $\mathrm {m}$ en $\mathrm {m}$ points, appartenant à une même droite, cette droite n’aura qu’une courbe polaire unique par rapport à toutes les courbes proposées ; cette polaire sera conséquemment enveloppée par les tangentes menées à toutes ces courbes aux points où elles sont coupées par cette droite.

En supposant, en particulier, $m=2$, on déduira de là ces deux propositions connues :

Les points de contact des tangentes menées à toutes les lignes du second ordre circonscrites à un même quadrilatère, par le point de concours de deux côtés

Les tangentes menées à toutes les lignes du second ordre inscrites à un même quadrilatère par leurs points d’intersection, avec la droite qui joint deux