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substituant ensuite dans (6), en y faisant $a$ et $b$ nuls, on obtiendra, pour la courbe polaire de l’origine, relativement à la directrice (9),

\left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+\mu {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\right)x+\left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+\mu {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}\right)y=m(M'+\mu M'')

ou bien

x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}-mM'+\mu \left(x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}-mM''\right)=0.

(10)

Or, quelle que soit la valeur attribuée à la constante arbitraire $\mu ,$ cette courbe polaire passe évidemment par les $(m-1)^{2}$ points fixes donnés par les deux équations

x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}=mM',\qquad x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}=mM''\,;

on a donc ces deux théorèmes :

THÉORÈME IV. Si tant de courbes du m.^ième degré qu’on voudra passant toutes par les $m^{2}$ mêmes points fixes, les courbes polaires d’un point quelconque, relatives à toutes celles-là, passeront toutes par les $\mathrm {(m-1)} ^{2}$ mêmes points également fixes.

THÉORÈME IV. Si tant de courbes de m.^ième classe qu’on voudra ont toutes les $m^{2}$ mêmes tangentes fixes, les courbes polaires d’une droite quelconque, relatives à toutes ces courbes, auront toutes les $\mathrm {(m-1)} ^{2}$ mêmes tangentes également fixes.

C’est là, comme l’on voit, la première partie des deux théorèmes de la page 256 du précédent volume, et les deux autres seraient tout aussi faciles à établir.

Si l’équation $M''=0$ est homogène en $x$ et $y$ , elle exprimera le système de $m$ droites réelles ou idéales, passant par l’origine ; et conséquemment les courbes comprises dans l’équation (9) auront