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$M=0.\qquad$(3)

Si, laissant $x'$ et $y'$ indéterminés, on veut profiter de leur indétermination pour assujétir la tangente à passer par un point $(a,b)$ donné sur le plan de la courbe, il faudra exprimer que l’équation (2) est satisfaite en y faisant simultanément $x=a$ et $y=b$, ce qui la changera en celle-ci

${\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x'}}(a-x')+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y'}}(b-y')=0,$

ou, ce qui revient au même,

${\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x'}}(x'-a)+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y'}}(y'-b)=0\,;\qquad$(4)

de sorte que les points de contact des tangentes à la courbe (1), issues du point $(a,b),$ seront donnés par le système des deux équations (3) et (4), ou, ce qui revient au même, par la combinaison de l’équation (1) avec l’équation

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}(x-a)+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}(y-b)=0\,;\qquad$(5)

ces points seront donc ceux on la courbe proposée sera coupée par celle qu’exprime l’équation (5).

L’équation (5) n’étant, comme l’équation (1), que du m.^ième degré seulement, il s’ensuit que le nombre des points de contact, ni conséquemment le nombre des tangentes issues du point $(a,b)$ ne saurait être supérieur à $m^{2}$^[1] ; mais nous allons voir que le

1. C’est sans doute par de semblables considérations que Waring, ses Miscellanea Analityca que nous n’avons pas présentement sous la main, fixe à $m^{2}$ limite du nombre des tangentes qu’on peut mener à une courbe du m.^ième degré, de l’un quelconque des points de son plan.
   J. D. G.