Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/101

$\left.{\begin{aligned}\pm {\frac {2}{\alpha '}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\delta }}-{\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\gamma }},\\\\\pm {\frac {2}{\beta '}}={\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\delta }}-{\frac {1}{\gamma }}-{\frac {1}{\alpha }},\\\\\pm {\frac {2}{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma }}+{\frac {1}{\delta }}-{\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\beta }}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(11)

c’est-à-dire, la somme des inverses des rayons des sphères ex-inscrites sur deux des faces d’un tétraèdre, moins la somme des inverses des rayons des sphères ex-inscrites sur ses deux autres faces, est double de l’inverse du rayon de la sphère ex-inscrite sur l’arête des deux premières ou sur rareté des deux dernières faces.

On voit donc que les rayons de nos huit sphères sont liés les uns aux autres par quatre relations au moyen desquelles quatre d’entre eux sont déterminés par les quatre autres.

En ajoutant et retranchant tour à tour chacune des équations (11) à l’équation (10) on aura

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\delta }}={\frac {1}{r}}\pm {\frac {1}{\alpha '}},\\\\&{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\delta }}={\frac {1}{r}}\pm {\frac {1}{\beta '}},\\\\&{\frac {1}{\gamma }}+{\frac {1}{\delta }}={\frac {1}{r}}\pm {\frac {1}{\gamma '}}\,;\end{aligned}}\right\}(12)\qquad \left.{\begin{aligned}&{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}={\frac {1}{r}}\mp {\frac {1}{\alpha '}},\\\\&{\frac {1}{\gamma }}+{\frac {1}{\alpha }}={\frac {1}{r}}\mp {\frac {1}{\beta '}},\\\\&{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}={\frac {1}{r}}\mp {\frac {1}{\gamma '}}\,;\end{aligned}}\right\}(13)$