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Si présentement on veut repasser aux coordonnées rectangulaires, il faudra faire (2)

$t={\frac {x}{r}},\qquad u={\frac {y}{r}},$

ce qui donnera, en substituant dans l’équation (6),

$\operatorname {f} _{m-1}(x,y)+2\operatorname {f} _{m-2}(x,y)+\ldots +(m-2)\operatorname {f} _{2}(x,y)+(m-1)\operatorname {f} _{1}(x,y)+m=0\,;$(7)

équation du (m-1)^ième degré seulement, appartenant à une courbe qui coupe la ligne du m^ième ordre donnée par l’équation (1) à ses points de contact avec les tangentes menées à celle-ci par l’origine des coordonnées.

En se rappelant donc qu’ici l’origine est un quelconque des points du plan de la courbe proposée, on en conclura le théorème suivant :

THÉORÈME I. Les points de contact d’une ligne du m^ième ordre avec les tangentes à cette courbe, issues d’un même point de son plan, sont tous situés sur une seule et même ligne du (m-1)^ième ordre au plus.

En désignant généralement par $f_{n}(x,y,z),$ une fonction rationnelle, entière et homogène de $n$ dimensions en $x,y,z$, l’équation de toute surface algébrique du m^ième ordre pourra être écrite comme il suit :

$\operatorname {f} _{m}(x,y,z)+\operatorname {f} _{m-1}(x,y,z)+\ldots +\operatorname {f} _{2}(x,y,z)+\operatorname {f} _{1}(x,y,z)+1=0.\ \$(1)

Si l’on veut passer aux coordonnées polaires, en prenant pour pôle l’origine des coordonnées, qu’on peut toujours supposer quelconque dans l’espace, il suffira de poser

$x=tr,\quad y=ur,\quad z=vr\,;\qquad$(2)

$r$ étant le rayon vecteur et $t,u,v$ les cosinus des angles variables