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$(m-1)A_{1}^{2}<2mA_{0}A_{2},\qquad$(5)

donc, dans ce cas aussi, la proposée aura des racines imaginaires.

Si, dans la proposée, on change $x$ en ${\frac {1}{y}}$ elle deviendra, en chassant les dénominateurs et ordonnant,

$A_{m}y^{m}+A_{m-1}y^{m-1}+A_{m-2}y^{m-2}+\ldots +A_{2}x^{2}+A_{1}x+A_{0}=0\,;\qquad$(6)

et, d’après ce qui vient d’être dit, cette dernière équation aura nécessairement des racines imaginaires si l’on a

$(m-1)A_{m-1}^{2}<2mA_{m}A_{m-2}\,;\qquad$(7)

mais, les racines imaginaires sont nécessairement en même nombre dans l’équation (6) et dans la proposée ; donc, si cette dernière équation a lieu, la proposée aura nécessairement des racines imaginaires.

Soit prise présentement la (m-n-1)^ième dérivée de la proposée ; en la modifiant convenablement, elle se terminera ainsi

$+(m-n+1)(m-n)A_{n-1}x^{2}+2(m-n)A_{n}x+2A_{n+1}=0\,;$

mais, d’après le résultat (7), si elle se terminait ainsi,

$+A'_{m-2}x^{2}+A'_{m-1}x+A'_{m}=0$

elle aurait des racines imaginaires, et conséquemment la proposée en aurait aussi, si l’on avait

$(m-1){A'}_{m-1}^{2}<2mA'_{m}A'_{m-2}\,;$

faisant donc