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ANALYSE ALGÉBRIQUE.

Note sur un symptôme d’existence des racines
imaginaires, dans une équation de degré
quelconque ;

Par M. A. Dupré, Élève de l’École préparatoire du
Collège de Louis-le-Grand.

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Soit l’équation en x

$A_{0}x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+\ldots +A_{n-1}x^{m-n+1}+A_{n}x^{m-n}+A_{n+1}x^{m-n-1}+\ldots$

$+A_{m-2}x^{2}+A_{m-1}x+A_{m}=X=0\,;\qquad$(1)

on sait que l’équation

$y=X\qquad$(2)

est celle d’une courbe qui a un cours continu et indéfini, dans le sens des $x$, de part et d’autre de l’axe des $y$ ; et que les segmens qu’elle détermine sur l’axe des $x$, comptés de l’origine sont les racines réelles de la proposée. On sait de plus qu’une parallèle quelconque à l’axe des $y$, parallèle qui coupe nécessairement la courbe, ne saurait la couper en plus d’un point.

Il suit de là qu’entre deux intersections consécutives quelconques, il y aura toujours un point de la courbe, au moins, pour lequel la tangente sera parallèle à l’axe des $x$, et dont l’abscisse sera conséquemment racine de l’équation