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ou bien en extrayant la racine quarrée et supposant que les variables $x$ et $z$ ne croissent pas en même temps.

$-{\frac {R\operatorname {d} x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}={\frac {b\operatorname {d} z}{\sqrt {z^{2}-b^{2}}}}\,;$

équation dont l’intégrale est

$R\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{R}}\right)=b\operatorname {Log} .\left(z+{\sqrt {x^{2}-b^{2}}}\right)+\mathrm {Const} .$

Pour déterminer la constante, supposons que le développement commence au point $x=R,\ y=0,\ z=b$ ; ce qui donne

$0=b\operatorname {Log} .b+\mathrm {Const} .$

et en retranchant,

$R\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{R}}\right)=b\operatorname {Log} .\left({\frac {z+{\sqrt {z^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)\,;$

d’où l’on tire aisément

$z+{\sqrt {z^{2}-b^{2}}}=b.e.^{{\frac {R}{b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{R}}\right)}\,;$

cette équation peut se transformer en celle-ci

$z-{\sqrt {z^{2}-b^{2}}}=b.e.^{-{\frac {R}{b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{R}}\right)},$

d’où en ajoutant,

$z={\frac {b}{2}}\left\{e.^{{\frac {R}{b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{R}}\right)}+e.^{-{\frac {R}{b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{R}}\right)}\right\}$