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$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}\right)\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}\right)=$

$\left(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z\right)^{2}\,;\quad$(12)

éliminant une des variables et sa différentielle entre ces trois équations, on aura l’équation différentielle du premier ordre de la projection des lignes cherchées sur l’un des plans coordonnés.

Appliquons ce procédé au cylindre droit à base circulaire dont l’équation est

$x^{2}+y^{2}R^{2},$

et, pour simplifier, posons $a=r,$ ce qui correspond au cas où la direction du fil est tangente à la sphère, lieu du développement.

En retranchant cette équation de celle de la sphère

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

on trouve

$z^{2}=r^{2}-R^{2}\quad$d’où$\quad z=\pm {\sqrt {r^{2}-R^{2}}},$

ces valeurs de $z$ sont les distances des plans des cercles de pénétration des deux surfaces au plan des $xy.$ Soit fait $r^{2}-R^{2}=b^{2}.$

Si l’on différentie l’équation du cylindre, on trouve

$x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y=0\quad$d’où$\quad \operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}={\frac {R^{2}\operatorname {d} x^{2}}{R^{2}-x^{2}}},$

substituant dans l’équation (12), il vient, en remplaçant $r^{2}-R^{2}$ par $b^{2}$

$\left(z^{2}-b^{2}\right)\left({\frac {R^{2}\operatorname {d} x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}+\operatorname {d} z^{2}\right)=z^{2}\operatorname {d} z^{2},$

puis, en séparant les variables,

${\frac {R^{2}\operatorname {d} x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}={\frac {b^{2}\operatorname {d} z^{2}}{z^{2}-b^{2}}}$