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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$x'=X,\qquad y'=Y,\qquad {\frac {\lambda }{\lambda '}}r=R\,;\qquad$(4)

on a donc ce théorème :

La caustique par réfraction, relative à un cercle et à un point rayonnant situé sur sa circonférence, n’est autre que la caustique par réflexion relative au même point et à un cercle réflèehissant qui, étant concentrique au cercle séparateur, aurait un rayon égal à celui de ce cercle, multiplié par le rapport du sinus de réfraction au sinus d’incidence.

Puis donc que la caustique par réflexion relative à un cercle réfléchissant dont le rayon est $R$ et à un point rayonnant $(X,Y)$ a pour équation (Annales, tom. XVII, pag. 134)

$\left\{4\left(X^{2}+Y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-R^{2}\left[(x+X)^{2}+(y+Y)^{2}\right]\right\}^{2}$

$=27R^{4}(Yx-Xy)^{2}\left(x^{2}+y^{2}-X^{2}-Y^{2}\right)^{2}\,;\qquad$(5)

en y mettant pour $X,Y,R$ les valeurs (4) ci-dessus, on aura, pour l’équation de la caustique par réfraction relative au cercle dont le rayon est $r$ et à un point $(x',y')$ situé sur la circonférence de ce cercle

$\left\{4\lambda '^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-\lambda ^{2}r^{2}\left[(x+x')^{2}+(y+y')^{2}\right]\right\}^{2}$

$=27\lambda ^{4}r^{4}(y'x-x'y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}-x'^{2}-y'^{2}\right)^{2}\,;$

précisément comme M. de St-Laurent l’a trouvée.

II. Supposons, en second lieu, que la distance du point rayonnant au centre du cercle séparateur soit au rayon de ce cercle comme le sinus d’incidence est au sinus de réfraction ; nous exprimerons cette circonstance en écrivant

${\frac {r^{2}}{x'^{2}+y'^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{\lambda '^{2}}},\quad$d’où$\quad \lambda '^{2}=\lambda ^{2}{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r^{2}}},\qquad$(6)