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${\begin{aligned}(a'-a'')x+(b'-b'')y+(r'-r'')R&=0,\\\\(a''-a\ \,)x+(b''-b\,)y+(r''-r\ \,)R&=0,\\\\(a\,\ -a')x+(b\,\ -b')y+(r\ \,-r'\,)R&=0.\end{aligned}}$

En prenant la somme de leurs produits respectifs par $r,r',r''$ la longueur $R$ disparaît, et l’on obtient l’équation linéaire

$\left\{r(a'-a'')+r'(a''-a)+r''(a-a')\right\}x$

$+\left\{r(b'-b'')+r'(b''-b)+r''(b-b')\right\}y=0,$

d’une droite qui passe par l’origine et qui doit contenir évidemment le centre radical des trois nouveaux cercles, quel que soit $R.$ On a donc ce théorème : Si les rayons de trois cercles, tracés sur un même plan, croissent ou décroissent d’une même quantité quelconque, leur centre radical, variable de position, parcourra une ligne droite. Cette droite est facile à obtenir, puisqu’elle doit passer par le centre radical des trois cercles primitifs et par le centre radical des trois cercles qu’on en déduirait en augmentant ou diminuant leurs rayons d’une même quantité quelconque.

4. On sait que les équations des centres de similitude directe des trois cercles primitifs, pris tour à tour deux à deux, sont

$\left\{{\begin{aligned}x={\frac {r'a''-r''a'}{r'-r''}},\\\\y={\frac {r'b''-r''b'}{r'-r''}},\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}x={\frac {r''a-ra''}{r''-r}},\\\\y={\frac {r''b-rb''}{r''-r}},\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}x={\frac {ra''-r'a}{r-r'}},\\\\y={\frac {rb'-r'b}{r-r'}}\,;\end{aligned}}\right.$

lesquels points sont sur une même droite, qu’on appelle l’axe de similitude directe des trois cercles, et dont on trouvera facilement l’équation

$\left\{r(b'-b'')+r'(b''-b)+r''(b-b')\right\}x=$

$\left\{r(a'-a'')+r'(a''-a)+r''(a-a')\right\}y\,;$