Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/375

On ne doit pas perdre de vue, dans tout ceci, que si deux des six points ou deux des six droites, non conjugués l’un à l’autre, se confondent accidentellement avec leurs conjugués respectifs, auquel cas le nombre des points ou des droites se réduira à quatre seulement, on aura alors une section ou un faisceau harmonique.

11. Reprenons l’équation

$aAA'+bBB'=0,\qquad$(1)

que l’on peut considérer généralement comme l’équation commune à toutes les coniques passant par les quatre mêmes points donnés par les systèmes d’équations

${\begin{array}{lll}\left\{{\begin{aligned}&A=0,\\&B=0\,;\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&A'=0,\\&B'=0\,;\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&A=0,\\&B'=0\,;\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&A'=0,\\&B=0\,;\end{aligned}}\right.&\end{array}}$

il est visible que l’on satisfera aussi à l’équation (1) quels que soient $\gamma$ et $\gamma ',$ par chacun des deux systèmes d’équations

$\left\{{\begin{aligned}&\gamma A\ +bB\ \,=0,\\&\gamma B'+aA'=0\,;\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}&\gamma 'A+bB'=0,\\&\gamma 'B+aA'=0\,;\end{aligned}}\right.$

puisque l’élimination, soit de $\gamma$ entre les deux premières, soit de $\gamma '$ entre les deux autres, fait retomber sur l’équation (1). Donc les deux premières, ainsi que les deux dernières appartiennent à deux droites qui se coupent sur la courbe ; mais les deux premières appartiennent respectivement à deux droites qui passent par les points $(A,B),\ (A',B'),$ tandis que les deux dernières appartiennent à deux droites qui passent respectivement par les points $(A,B'),\ (A',B)$ ; donc les deux premières sont celles de deux cordes menées de l’un quelconque des points de la courbe aux deux