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Si nous restituons les termes qui manquent, affectés du coefficient zéro, en donnant à ce coefficient, dans chacun d’eux, le signe qui peut rendre le nombre des variations le moindre possible, il est visible que le nombre total de ces variations sera seulement

$V+\gamma +\delta \,;$

et telle sera aussi conséquemment la limite que le nombre des racines réelles positives ne pourra dépasser.

Si, au contraire, nous restituons les termes qui manquent, affectés du coefficient zéro, en donnant à ce coefficient, dans chacun d’eux, le signe qui peut rendre le nombre des permanences le moindre possible, il est visible que le nombre total de ces permanences sera seulement

$P+\alpha +\delta \,;$

et telle sera aussi conséquemment la limite que le nombre des racines réelles négatives ne pourra dépasser.

Le nombre total des racines réelles, tant positives que négatives de la proposée sera donc, au plus,

$V+P+\alpha +\gamma +2\delta \,;$

le nombre de ses racines imaginaires sera donc au moins

$m-V-P-\alpha -\gamma -2\delta ,$

ou bien, on mettant pour $m-V-P$ sa valeur donnée par l’équation (5),

$\left\{{\begin{aligned}&a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{\alpha }\\+&b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots +b_{\beta }\\+&c_{1}+c_{2}+c_{3}+\ldots +c_{\gamma }\\+&d_{1}+d_{2}+d_{3}+\ldots +d_{\delta }\end{aligned}}\right\}+(\beta -\delta ),$

ce qui donne ce théorème :