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On pourra facilement, d’après cela, décrire un cercle qui, passant par deux points donnés, touche un cercle donné. On peut remarquer, en effet, que le problème a deux solutions et que les deux cercles qui le résolvent ont, avec le cercle donné, un centre radical qui doit se trouver à la fois sur la droite qui joint les deux points donnés, et au point de concours des tangentes com-

$(x-a')^{2}+(y-b')^{2}=0\,;$

leurs axes radicaux par rapport au cercle seront donnés par les équations

$2ax+2by-(a^{2}+b^{2}+r^{2})=0,$


$2a'x+2b'y-(a'^{2}+b'^{2}+r^{2})=0.$

Afin donc que ces deux axes radicaux se confondent, on devra avoir

${\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {a^{2}+b^{2}+r^{2}}{a'^{2}+b'^{2}+r^{2}}}.$

La première partie de cette double équation prouve que les deux points dont il s’agit doivent être en ligne droite avec le centre du cercle ; d’où il suit que, si l’on suppose $b=0,$ on devra avoir aussi $b'=0$. Notre double équation se réduira ainsi à

${\frac {a}{a'}}={\frac {a^{2}+r^{2}}{a'^{2}+r^{2}}},$

d’où on tirera

$aa'=r^{2}\,;$

ce qui prouve 1.^o que les deux points doivent être situés d’un même côté du centre ; 2.^o que le rayon doit être moyen proportionnel entre leurs distances à ce centre.

Il résulte de là que, si l’un de ces points est sur la circonférence, l’autre se confondra avec lui ; et que conséquemment l’axe radical d’un cercle et d’un point de sa circonférence n’est autre que la tangente à ce cercle en ce point.