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$(bC+cB+\alpha D)(cA+aC+\beta D)(aB+bA+\gamma D)(\alpha A+\beta B+\gamma C)=0.$(10)

Les faces du tétraèdre circonscrit coupent leurs opposées respectives dans l’inscrit, suivant des droites données par les couples d’équations

$\left.{\begin{aligned}bC+cB+\alpha D=0,\qquad &A=0,\\cA+aC+\beta D=0,\qquad &B=0,\\aB+bA+\gamma D=0,\qquad &C=0,\\\alpha A+\beta B+\gamma C=0,\qquad &D=0.\end{aligned}}\right\}\quad$(11)

Pour que l’une quelconque des trois premières droites soit dans le même plan avec la dernière, il faut qu’en éliminant entre leurs quatre équations les trois coordonnées $x,y,z$, ou, ce qui revient au même, les trois rapports ${\frac {A}{D}},\ {\frac {B}{D}},\ {\frac {C}{D}},$ on parvienne à une équation identique ; or, on obtient ainsi les trois équations

$\beta b=\gamma c,\quad \gamma c=\alpha a,\quad \alpha a=\beta b,\qquad$(12)

qui peuvent fort bien ne point avoir lieu ; donc, généralement parlant, deux de ces quatre droites ne sont pas situées dans un même plan, à plus forte raison donc n’y sont-elles pas toutes quatre ; d’où il résulte que la première partie du théorème proposé à démontrer à la pag. 18 du présent volume n’est pas généralement vraie.

De ce que chacune des équations (12) est comportée par les deux autres, on peut conclure que, si parmi les quatre droites (11), il s’en trouve deux dont chacune soit en particulier dans un même plan avec l’une des deux droites restantes, ces deux droites restantes seront aussi elles-mêmes dans un même plan qui d’ailleurs sera généralement parlant, différent du plan des deux autres.