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tre axes de similitude, on obtiendra les huit solutions dont ce problème est susceptible^[1].

Il pourrait se faire que, pour tout ou partie des quatre axes de similitude, les droites qui doivent déterminer les points de contact sur les trois proposées ne les rencontrassent pas toutes trois ; alors le nombre des solutions s’en trouverait d’autant réduit, et, si cette circonstance avait lieu pour les quatre axes de similitude, le problème serait tout à fait impossible.

D’après la remarque qui a été faite ci-dessus (11), on peut remplacer ce procédé par celui qui suit, lequel évite la construction des axes de symptose.

17. Trois coniques homothétigues $\mathrm {S,S',S''}$ étant données, pour déterminer en quels points l’une d’elles, $\mathrm {S''}$ par exemple, doit être touchée par deux des huit coniques homothétiques avec celles qui les touchent toutes trois, on déterminera l’un des centres $\mathrm {O}$ de similitude de $\mathrm {S'}$ et $\mathrm {S''}$, et un des centres $\mathrm {O'}$ de similitude de $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S''} \,;$ les polaires de $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O',}$ relatives à $\mathrm {S'',}$ se couperont en un point ; les polaires de $\mathrm {O}$ relatives à $\mathrm {S'}$ et de $\mathrm {O'}$ relatives à $\mathrm {S}$ se couperont en un autre point, et la droite qui joindra ces deux points coupera $\mathrm {S''}$ aux deux points de contact cherchés^[2].

18. Rien ne sera plus aisé que de modifier ces constructions de

1. En supposant que les trois coniques données sont des cercles, on obtiendra une nouvelle démonstration de la construction indiquée tom. XVII, pag. 309, laquelle, comme l’on voit, n’est qu’un cas particulier de celle-là.
   J. D. G.
2. C’est sous cette forme (me nous avions présenté la construction relative à trois cercles, dans les Mémoires de Turin, pour 1814, où nous avions déjà observé qu’elle était applicable à des ellipses homothétiques ; si nous avons introduit postérieurement (Annales, tom. VII, pag. 289) l’emploi du centre radical, c’est uniquement pour pouvoir rendre la construction applicable à trois cercles tracés sur une sphère.
   J. D. G.