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des cônes circonscrits à cette surface suivant ces mêmes courbes.

Démonstration. Soient, pour le prouver, $\mathrm {C',C'',C''',\ldots }$ les coniques homothétiques dont il s’agit. Sur leur plan, soit tracée arbitrairement une nouvelle conique $\mathrm {C,}$ qui leur soit homothétique, et par laquelle sait fait passer, aussi arbitrairement une surface $\mathrm {S}$ du second ordre ; en conduisant un plan tangent à cette surface, parallèle à celui des coniques données $\mathrm {C',C'',C''',\ldots }$ son point de contact, sera celui où il faudra placer l’oeil pour que ces coniques soient les projections stéréographiques d’une suite de courbes planes tracées sur cette surface.

En effet, par le point $\mathrm {P}$ et par trois des points du périmètre de l’une quelconque $\mathrm {C'}$ de ces coniques, soient menées trois droites ; ces droites perceront la surface $\mathrm {S}$ en trois points qui appartiendront à une section plane de cette surface, dont la projection stéréographique sera, par ce qui précède (2), une conique homothétique avec $\mathrm {C,}$ et conséquemment avec $\mathrm {C',}$ dont le centre sera la projection stéréographique du sommet du cône circonscrit à $\mathrm {S}$ suivant cette section plane. Mais cette conique homothétique avec $\mathrm {C'}$ aura trois points communs avec elle ; elle ne sera donc autre chose que $\mathrm {C'}$ elle-même, puisque deux coniques homothétiques ne sauraient se couper en plus de deux points.

Il suit de là, en particulier, que tant de cercles qu’on voudra, tracés sur un même plan, peuvent toujours être considères comme les projections stéréographiques d’un pareil nombre de sections planes faites dans une surface du second ordre, et leurs centres comme les projections stéréographique, des sommets des cônes circonscrits à cette surface, suivant ces mêmes sections planes^[1].

1. Ce principe paraît ne pas être inconnu aux géomètres allemands, M. Plucker l’invoque formellement, à la pag. 47 ;présent volume, et M. Steiner s’en appuye également dans le mémoire dont nous avons donné un extrait à la pag. 285 de notre XVII.^e volume, pour transporter ses constructions planes sur des surfaces quelconques, du second ordre.
   J. D. G.