|
les côtés touchent deux coniques aux quatre points où elles sont coupées par une droite menée arbitrairement par leur centre d’homologie ont leurs quatre sommets sur les deux axes de symptose de ces deux courbes, pourvu qu’on ne prenne, pour aucun sommet, le point de concours de deux tangentes à la même courbe. |
ont leurs sommets aux quatre points de contact de deux coniques avec leurs tangentes issues d’un même point de leur axe de symptose ont leur quatre côtés concourant aux deux centres d’homologie de ces deux courbes, pourvu qu’on ne prenne, pour aucun côté, une droite contenant les deux points de contact d’une même courbe. |
20. M. Poncelet a discuté très-clairement l’existence des centres d’homologie et des axes de symptose, et nous ne saurions mieux faire que de renvoyer, sur ce sujet, à son Traité des propriétés projectives. On y verra que, quand deux coniques se coupent en quatre points, elles ont, comme nous l’avons déjà vu (13), six centres d’homologie, qui sont les six intersections deux à deux de leurs quatre tangentes communes, et six axes de symptose, qui sont les six droites qui joignent deux à deux leurs quatre points d’intersection. On peut alors appeler centres d’homologie conjugués deux centres d’homologie qui n’appartiennent pas à une même tangente, et axes de symptose conjugués, ceux qui ne concourrent pas en un même point commun aux deux courbes.
Dans tous les autres cas, ou les deux courbes ne se coupent pas ou bien n’ont que deux points d’intersection, il n’y a que deux axes de symptose et deux centres d’homologie seulement ; et ces droites et ces points ont toujours une existence réelle. La raison analitique de ce fait est que les trois systèmes d’axes de symptose conjugués, ainsi que les trois systèmes de centres d’homologie conjugués, sont donnés par une même équation du troisième degré qui a nécessairement une racine réelle, au moins ; mais qui n’en a qu’une seule de réelle lorsqu’elles ne le sont pas toutes les trois.
On sait (3, 4) que, dans le système transformé, toute droite
