Les intersections des deux proposées auront donc pour polaires les tangentes communes à leurs polaires réciproques, dont les intersections seront, à l’inverse, les pôles des tangentes communes, aux deux premières.
Or, deux de ces tangentes communes, passant par le centre de la conique directrice, doivent avoir leurs pôles à l’infini ; donc, des quatre intersections des coniques polaires réciproques des proposées doivent être situées à l’infini, d’où il résulte que ces polaires sont homothétiques. On a donc ce théorème foudamental :
12. Deux coniques quelconques, situées d’une manière quelconque dans un même plan, et rapportées à une ami que directrice ayant son centre au point de concours de deux tangentes communes aux deux courbes, ont pour polaires réciproques deux coniques homothétiques.
Mais il ne faut pas perdre de vue, dans l’application de ce théorème (2, 9), que les deux tangentes communes doivent être choisies de telle sorte que les deux coniques soient inscrites dans le même angle, ou l’une dans un angle et l’autre dans son opposé au sommet.
13. Or, il peut ici se présenter trois cas : 1.o Si les deux courbes sont extérieures l’une à l’autre, elles auront quatre tangentes communes et deux seulement de leurs six points d’intersection pourront être pris pour centres de la conique directrice ; 2.o si les deux courbes se coupent en deux points, elles n’auront que deux tangentes communes, et conséquemment aucune difficulté n’aura lieu ; 3.o enfin, si les deux courbes se coupent en quatre points, elles auront de nouveau quatre tangentes communes ; mais alors chacun de leur six points de concours pourra être pris pour centre de la conique directrice.
14. Si l’on prenait pour centre de la conique directrice le point de concours de deux tangentes telles que les deux courbes se trouvassent inscrites dans deux angles consécutifs, leurs polaires réciproques ne seraient plus des coniques homothétiques, mais deux
