Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/269

	les plans que l’on peut conduire par cette droite.			les plans polaires de tous les points de cette droite.
	3.o Que les courbes polaires de plusieurs droites situées dans un même plan passent toutes par les pôles de ce plan.			3.o Que les surfaces développables polaires de plusieurs droites qui concourent en un même point touchent toutes les plans polaires de ce point.

Cela posé, considérons d’abord deux surfaces du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, données par les équations

$M=0,\qquad M'=0\,;$

en désignant toujours par $\alpha$ une constante arbitraire, l’équation

$M+\alpha M'=0,\qquad$(1)

appartiendra à une nouvelle surface du même degré, contenant, quel que soit $\alpha$, les intersections des deux premières.

En différentiant celle-ci et remplaçant respectivement par $a$ et $b$ les coefficiens ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}},$ l’équation résultante

$a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha \left\{a{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}\right\}=0,\ \$(2)

du $(m-1).^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré seulement, appartiendra à la surface qui contient les courbes à double courbure, lieu des points où la surface (1) est touchée par toutes ses tangentes parallèles à la droite fixe donnée par les deux équations $x=az$ et $y=bz$ ; c’est-à-dire, en d’autres termes, que cette surface (2) contiendra les lignes de contact de la surface (1) avec la surface cylindrique dont *outes les arêtes ou élémens rectilignes seraient parallèles à cette droite fixe.