faisant la somme de ces équations, en ayant égard aux équations (5) et (6), il viendra, toutes réductions faites, et en changeant respectivement en
Telle est donc l’équation du lieu du sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile dont les faces touchent constamment une ellipse ayant pour équation
On voit que ce lieu est une sphère concentrique à l’ellipse, ayant pour rayon la corde qui joint deux sommets consécutifs de cette ellipse.
Si l’on remplace l’ellipse par une hyperbole ayant pour équation
l’équation du lieu cherché sera
ce sera donc encore une sphère concentrique à l’hyperbole proposée, mais dont le rayon sera ; de sorte que, si l’hyperbole est équilatère, le lieu demandé se réduira à son centre ; et que, si son axe transverse est le plus petit des deux, il sera impossible que la courbe soit touchée à la fois par les trois faces d’un angle trièdre tri-rectangle.
Si, dans les équations (27) et (28), on change en , elles deviendront