Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/240

$At^{2}+Bu^{2}+Cv^{2}+2Duv+2E\tau +2Ftu+2Gt+2Hu+2Kv+L=0.\quad$(11)

Pour déterminer les points où l’ellipsoïde rencontre les nouveaux axes, c’est-à-dire, les arêtes de l’angle trièdre mobile, il faudra faire tour-à-tour, dans l’équation (11), deux des trois coordonnées égales à zéro, ce qui donnera

$At^{2}+2Gt+L=0,\quad Bu^{2}+2Hu+L=0,\quad Cv^{2}+2Kv+L=0.$

Si donc on veut que ces trois arêtes soient tangentes à l’ellipsoïde, il faudra exprimer que ces trois équations ont leurs racines égales ; ce qui donnera

$G^{2}-AL=0,\quad H^{2}-BL=0,\quad K^{2}-CL=0\,;$

d’où, en ajoutant

$G^{2}+H^{2}+K^{2}=L(A+B+C).\qquad$(12)

Or, les équations (9) donnent, en ayant égard aux équations (5) et (6),

$G^{2}+H^{2}+K^{2}=b^{4}c^{4}\alpha ^{2}+c^{4}a^{4}\beta ^{2}+a^{4}b^{4}\gamma ^{2}\,;$

les équations (7) donnent ensuite, en ayant égard aux équations (5),

$A+B+C=b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}.$

Substituant donc ces valeurs et celle de $L,$ donnée par l’équation (10), dans l’équation (12), cette dernière deviendra, toutes réductions faites, en y changeant respectivement $\alpha ,\beta ,\gamma$ en $x,y,z$

$\left(b^{2}+c^{2}\right)x^{2}+\left(c^{2}+a^{2}\right)y^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}=b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\,;$ (13)

c’est l’équation du lieu du sommet de l’angle trièdre mobile qui