Et de là résulte ce théorème :
17. THÉORÈME IV. Les droites, suivant lesquelles se coupent les plans qui divisent en deux parties égales les supplémens des angles dièdres opposés d’un tétraèdre, appartiennent toutes trois à un même plan, tel que la somme algébrique des distances de chacun de ses points aux quatre faces du tétraèdre est nulle.
18. Remarque. Lorsque le tétraèdre est régulier, ce plan passe à l’infini.
La géométrie analitique offre un moyen facile de confirmer tout ce qui précède, et de l’étendre à des polygones d’un nombre quelconque de côtés et à des polyèdres d’un nombre quelconque de faces.
19. Soient eu premier lieu tant de droites qu’où voudra, tracées sur un même plan et considérées comme les côtés consécutifs d’un polygone. Rapportons toutes ces droites à deux axes rectangulaires tracés arbitrairement sur leur plan. Soient les angles que font leurs directions avec l’axe des , les angles que forment ces directions avec l’axe des et les longueurs des perpendiculaires abaissées de l’origine sur ces mêmes directions. Si l’on représente en outre par les perpendiculaires abaissées sur ces mêmes droites de l’un quelconque des points de leur plan, on aura comme l’on sait,
Si donc on veut que la somme soit égale à une constante , il faudra qu’on ait
