excès est la somme des volumes de quatre pyramides, l’une triangulaire, ayant pour base et les trois autres quadrangulaires, ayant pour bases ; ces pyramides ayant toutes leur sommet commun en ; laquelle somme de volumes a pour expression multiplié par la somme des distances du point aux quatre faces du tétraèdre ; donc ce produit est indépendant de la situation du point dans l’intérieur du triangle ; puis donc que son premier facteur est constant, l’autre doit l’être également.
Si, au contraire, le plan n’était pas parallèle au plan le volume du tétraèdre dont la base serait constante, tandis que sa hauteur varierait avec la situation du point serait variable ; le produit de par la somme des distances du point aux quatre faces du tétraèdre serait donc aussi variatle ; et, puisque son premier facteur est constant, c’est l’autre qui varierait alors.
12. Remarque. Bien que nous ayons supposé que le plan était compris entre le plan et la face et que le point était intérieur au triangle il serait facile de modifier la démonstration de manière à la rendre propre à toute autre situation de ce plan parallèle ainsi que du point par rapport aa triangle pourvu qu’on eût constamment égard aux signes des distances.
13. PROBLÈME III. Construire, sur le plan d’un triangle, une droite telle que la somme algébrique des distances de chacun de ses points aux trois côtés du triangle soit nulle ?
Solution. Si l’on divise, par une droite, le supplément de l’un des angles du triangle en deux parties égales, la somme algébrique des distances de chacun des points de cette droite aux deux côtés de cet angle sera nulle ; de sorte que, la somme algébrique des distances de chacun, de ces points aux trois côtés du triangle sera simplement égale à la distance de ce même point au troisième côté
Donc le point où cette même droite rencontre le troisième côté
