Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/217

$\Delta +T''=\left({\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\delta ''}}\right)^{3},$

$\Delta +T'''=\left({\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\delta '''}}\right)^{3}\,;$

puis sous celle-ci

${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}\ \,&={\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\Delta \delta '}},\\{\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}\,&={\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\Delta \delta ''}},\\{\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}&={\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\Delta \delta '''}}\,;\end{aligned}}$

ce qui donne

$\left.{\begin{aligned}\delta '\ \,&=\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)^{3},\\\delta ''\,&=\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)^{3},\\\delta '''&=\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)^{3}.\end{aligned}}\right\}\quad$(9)

En substituant ces valeurs dans les équations (7), on en tire

$\left.{\begin{aligned}&\Pi '=(pp')-3\left\{\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\right\}\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\&\Pi ''=(pp'')-3\left\{\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\right\}\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\&\Pi '''=(pp''')-3\left\{\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\right\}\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\end{aligned}}\right\}$ (10)