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Des équations (4) on tire facilement

${\begin{aligned}p'&=2{\sqrt {\Delta (\Delta +T')}}-2\Delta ,\\\\p''&=2{\sqrt {\Delta (\Delta +T'')}}-2\Delta \,;\end{aligned}}$

et de là

${\begin{array}{lll}T'-p'&=2\Delta +T'-2{\sqrt {\Delta (\Delta +T')}}&=\left({\sqrt {\Delta +T'}}-{\sqrt {\Delta }}\right)^{2},\\\\T''-p''&=2\Delta +T''-2{\sqrt {\Delta (\Delta +T'')}}&=\left({\sqrt {\Delta +T''}}-{\sqrt {\Delta }}\right)^{2}\,;\end{array}}$

substituant dans l’équation (4) et extrayant la racine quarrée des deux membres, on aura finalement

$P=2\left({\sqrt {\Delta +T'}}-{\sqrt {\Delta }}\right)\left({\sqrt {\Delta +T''}}-{\sqrt {\Delta }}\right).$

Mais, comme nous aurions pu raisonner sur $P'$ ou $P',$ comme nous avons raisonné sur $P,$ il s’ensuit que les relations demandées entre les sept parties du triangle sont les trois suivantes :

$\left.{\begin{aligned}P\ \,&=2\left({\sqrt {\Delta +T'}}-{\sqrt {\Delta }}\right)\left({\sqrt {\Delta +T''}}-{\sqrt {\Delta }}\right),\\P'\,&=2\left({\sqrt {\Delta +T''}}-{\sqrt {\Delta }}\right)\left({\sqrt {\Delta +T}}-{\sqrt {\Delta }}\right),\\P''&=2\left({\sqrt {\Delta +T}}-{\sqrt {\Delta }}\right)\left({\sqrt {\Delta +T'}}-{\sqrt {\Delta }}\right).\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

Ces équations donnent les valeurs de $P,P',P''$, lorsque les autres parties sont connues.

Il est facile d’en déduire d’autres qui donnent les valeurs de $T,T',T'',$ en fonction de $P,P',P''$ et $\Delta .$ En divisant, en effet, par chacune d’elles le produit des deux autres, il vient, en chassant les dénominateurs,

${\begin{aligned}P'P''&=2P\left({\sqrt {\Delta +T}}-{\sqrt {\Delta }}\right)^{2},\\\\P''P&=2P'\left({\sqrt {\Delta +T'}}-{\sqrt {\Delta }}\right)^{2},\end{aligned}}$