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En portant les valeurs (11) et (11’) dans les équations (6) et (6’), celles-ci deviennent

$xt+yu=r^{2}-vz,\quad$(12)$\qquad x't+y'u=r^{2}-v'z'\,;\quad$(12’)

ces mêmes valeurs portées dans les équations (7) et (8) donnent

${\begin{array}{ll}{\frac {\sqrt {r^{2}-v^{2}}}{\lambda }}={\frac {\sqrt {r^{2}-v'^{2}}}{\lambda '}},&(13)\\\\{\frac {v(z-v)}{\lambda }}={\frac {v'(z'-v')}{\lambda '}}\,;&(14)\end{array}}$

et la recherche de l’équation en $x$ et $y$ de la caustique se trouve réduite à l’élimination des six quantités $t,u,v,v',z,z'$ entre les sept équations (1), (11), (11’), (12), (12’), (13) et (14).

L’équation (14), comme l’observe M. de St-Laurent, est l’élégant théorème de Petit, au moyen duquel on peut construire la caustique par points. Lorsqu’en effet le point rayonnant, ainsi que le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction sont donnés, on peut, pour chacun des rayons incidens, construire la direction du rayon réfracté. On connaîtra donc alors $\lambda ,\lambda ',v,v'$ et $z',$ et l’équation (14) donnera la longueur $z$ de ce rayon, c’est-à-dire, la situation de son point de contact avec la caustique.

L’élimination de $t$ et $u$ entre trois de nos sept équations n’offre aucune difficulté, en éliminant tour à tour $u$ et $t$ entre les équations (12) et (12’), on obtient

$(xy'-x'y)t=y'\left(r^{2}-vz\right)-y(r^{2}-v'z'),$

$(xy'-x'y)t=x'\left(r^{2}-v'z'\right)-x(r^{2}-vz).$

En ajoutant les quarrés de ces deux équations et ayant égard à l’équation (1), il vient