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$TP^{2}=T'P'^{2}=T''P''^{2}.$

Enfin en extrayant la racine quarrée du produit des équations primitives, on parvient à l’équation

$PP'P''=8TT'T'',$

qui est précisément celle qui était proposée à démontrer.

THÉORÈME III. Les plans parallèles à deux des faces d’un tétraèdre, conduits par un quelconque des points de l’arête suivant laquelle se coupent ses deux autres faces, partagent le tétraèdre en deux autres $\mathrm {T',T''}$ et en un hexaèdre heptagone $\mathrm {Q}$, tronc de prisme quadrangulaire, dont une des arêtes latérales est nulle, tels que

$Q=3\left({\sqrt[{3}]{T'}}+{\sqrt[{3}]{T''}}\right){\sqrt[{3}]{T'T''}}.$

Démonstration. Soit $\mathrm {SS'S''S'''}$ (fig. 4) le tétraèdre dont il s’agit. Par un point $\mathrm {C,}$ pris arbitrairement sur l’arête $\mathrm {S'S'',}$ soient conduits les plans $\mathrm {A'CB'} ,$$\mathrm {A''CB'',}$ respectivement parallèles aux faces $\mathrm {SS''S''',SS'S''',}$ qui contiennent l’arête $\mathrm {SS'',}$ opposée à $\mathrm {S'S''.}$ Ces plans diviseront le tétraèdre donné en deux autres $\mathrm {S'A'CB',S''A''CB'',}$ que nous représenterons respectivement par $T',T'',$ et un corps hexaèdre heptagone, terminé par les deux parallélogrammes $\mathrm {CS,CS''',}$ les deux triangles $\mathrm {A''CB',A''CB''}$ et les deux trapèzes $\mathrm {SA'B'S''',SA''B''S'''}$ ; lequel corps que nous représenterons par $\mathrm {Q,}$ n’est autre qu’un tronc de prisme quadrangulaire, dont une des arêtes latérales est nulle.

Soit conduit, par $\mathrm {CB'}$ et $\mathrm {CA'',}$ un plan coupant en $\mathrm {D}$ l’arête $\mathrm {SS''}$ ; ce plan divisera le corps $Q$ en deux prismes triangulaires, l’un que nous représenterons par $\mathrm {P}$, ayant pour ses deux bases $\mathrm {A'CB'}$