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$C={\frac {2AB\operatorname {Cos} .\gamma }{A+B}}.\qquad$(32)

Ces valeurs substituées dans les formules (29) et (30) donnent

$m+m'=0,\qquad mm'=-{\frac {A}{B}}\,;$

d’où

$m=\pm {\sqrt {\frac {A}{B}}},\qquad m'=\mp {\sqrt {\frac {A}{B}}}\,;$

ce qui prouve que, dans l’ellipse dans laquelle les diamètres conjugués égaux forment le plus grand angle aigu, ces diamètres conjugués sont (12) parallèles aux deux asymptotes de l’hyperbole ; ainsi 5.^o de toutes les ellipses circonscrites à un même quadrilatère, la plus approchante du cercle est celle dont les diamètres conjugués parallèles aux asymptotes de l’hyperbole lieu des centres de toutes les ellipses circonscrites, sont en même temps des diamètres conjugués égaux ; c’est la solution du problème énoncé à la page 284 du précédent volumes^[1] et le complément du théorème que nous nous étions proposés de démontrer.

Nous espérons que M. Steiner ne voudra pas laisser son ouvrage incomplet, et que, dans un prochain numéro du Journal de M. Crelle, il nous fera connaître aussi l’ellipse la plus approchante du cercle, entre toutes celles qui sont inscrites à un même quadrilatère.

1. Le problème avait été proposé par M. Bobillier.