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$y-u=m(x-t)\qquad$(15)

En combinant celle-ci avec l’équation (14), on obtiendra, pour les coordonnées de l’une des deux extrémités du diamètre,

$x=t+{\sqrt {\frac {-k}{A+Bm^{2}+2Cm}}},\quad y=u+m{\sqrt {\frac {-k}{A+Bm^{2}+2Cm}}}.\qquad \quad$(16)

Mais l’équation de la tangente à la courbe (1), en un quelconque $(x',y')$ de ses points est

$(Ax'+Cy'+D)x+(By'+Cx'+E)y+(Dx'+Ey'+F)=0,\qquad \quad$(17)

qui, en y mettant pour $x'$ et $y'$ les valeurs (16) et ayant égard aux relations (8) et (13) devient

$\left\{(A+Cm)x+(Bm+C)y+(D+Em)\right\}{\sqrt {\frac {-k}{A+Bm^{2}+2Cm}}}+k=0.\quad$(18)

Telle est donc l’équation de la tangente à l’extrémité du diamètre (15) ; d’où il suit que l’équation de son conjugué sera

$(A+Cm)(x-t)+(Bm+C)(y-u)=0\,;\qquad$(19)

ou plus simplement, en ayant égard aux relations (8),

$(A+Cm)x+(Bm+C)y+(D+Em)=0.\qquad$(20)

En donnant donc à l’indéterminée $C$ des valeurs différentes, on obtiendra (15), pour toutes les ellipses circonscrites au quadrilatère dont il s’agit, les conjugués du diamètre parallèle à la droite fixe dont l’équation serait

$y=mx.\qquad$(21)