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surface du m^ième ordre avec des surfaces cylindriques circonscrites, ayant leurs génératrices parallèles à des droites arbitraires, passent toutes par les mêmes $(m-1)^{3}$ points fixes.

Si, sans laisser la droitédonnée tout-à-fait indéterminée, on l’assujettit à se mouvoir dans un plan fixe passant par l’axe des $z$ ; c’est-à-dire, dans un plan fixe quelconque, en supposant l’équation de ce plan

${\frac {x}{A}}={\frac {y}{B}},$

on devra avoir

${\frac {a}{A}}={\frac {b}{B}}.$

Tirant de cette dernière équation la valeur de $b$, pour la substituer dans l’équation $(\alpha \alpha ),$ celle-ci deviendra

$\left(A{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right)a+A{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0.$

Cette équation est satisfaite, quel que soit $a$, en posant, à la fois,

$A{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0\,;$

équations qui appartiennent à deux surfaces du (m-1)^ième ordre, et conséquemment à la courbe fixe à double courbure suivant laquelle ces deux surfaces se pénètrent. On a donc ce nouveau théorème :

THÉORÈME VII. Les surfaces du (m-1)^ième ordre auxquelles appartiennent les diverses séries de lignes de contact d’une même surface du m^ième ordre, avec des surfaces cylindriques circonscrites, ayant leurs génératrices parallèles à des droites tracées arbitrairement dans un même plan quelconque, passent toutes par une seule et même courbe à double courbure.