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Puis, en réduisant la constante $r$ à zéro, on tirera de la première de ces trois formules

(24) $\qquad \int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {\operatorname {f} (x)}{\operatorname {l} x-{\frac {\varpi }{2}}{\sqrt {-1}}}}+{\frac {\operatorname {f} (-x)}{\operatorname {l} x+{\frac {\varpi }{2}}{\sqrt {-1}}}}\right\}\operatorname {d} x=-2\varpi \operatorname {f} \left({\sqrt {-1}}\right).$

Si, dans l’équation (21), on remplace le nombre entier $m$ par un nombre quelconque $a$, on trouvera toujours

(25)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {f(x)}{\left(r-x{\sqrt {-1}}\right)^{a}}}.\operatorname {d} x=0.$

Soit maintenant $\varphi (x)$ une fonction rationnelle de la variable $x,$ et concevons qu’après avoir calculé les diverses racines de l’équation ${\frac {1}{\varphi (x)}}=0,$ on représente par $h+k{\sqrt {-1}}$ l’une quelconque de celles dans lesquelles le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ est positif. Soient de plus $m$ le nombre des racines égales à $h+k{\sqrt {-1}},\ \varepsilon$ une quantité infiniment petite, et $H_{n},K_{n}$ deux quantités réelles, déterminées par la formule

(26)$\qquad H_{n}+K_{n}{\sqrt {-1}}={\frac {1}{1.2.3\ldots n}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n}\left[\varepsilon ^{n}\varphi \left(h+k{\sqrt {-1}}+\varepsilon \right)\right]}{\operatorname {d} \varepsilon ^{n}}},$

qui deviendra simplement

(27)$\qquad H_{n}+K_{n}{\sqrt {-1}}=\varepsilon \varphi \left(h+k{\sqrt {-1}}+\varepsilon \right),$

si une seule racine est égale à $h+k{\sqrt {-1}}$.

Soit enfin $\operatorname {f} (x)$ une fonction telle que l’équation ${\frac {1}{\operatorname {f} (x)}}=0$ n’admette point de racines dans lesquelles le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ soit