ment à toutes les courbes ; mais il faut convenir qu’elle est bien peu élémentaire et qu’elle ne convient guère en particulier à un enseignement duquel est formellement exclu le développement de la formule du binôme dans le cas de l’exposant fractionnaire. Il ne faut pas d’ailleurs s’appuyer trop sur les séries dans un enseignement où il est impossible de traiter de ce qui les concerne avec tout le développement convenable.
On peut heureusement parvenir aux équations des asymptotes de l’hyperbole et même d’un grand nombre d’autres courbes algébriques, à l’aide d’un principe facile à établir, qui peut être d’une utile application eu d’autres rencontres, et qu’on peut énoncer comme il suit :
THÉORÈME. Lorsqu’un radical de degré quelconque affecte la somme de deux quantités, l’une constante et l’autre variable, on peut toujours prendre la quantité variable assez grande pour que l’altération qu’éprouvera la quantité radicale, par la suppression du terme constant, tombe au-dessous d’une quantité donnée, si petite qu’on voudra la supposer.
Démonstration. Soient le terme variable, le terme constant, le degré du radical et une quantité donnée si petite qu’on voudra. Il faut prouver qu’on peut toujours prendre assez grand pour satisfaire à l’inégalité
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z+k}}-{\sqrt[{n}]{z}}<\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516d32737f9c62d78c6c0ab27002094c0c040d80)
On tire de là, en effet,
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z+k}}<{\sqrt[{n}]{z}}+\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d2697a3d1f0611db86324a775068aa69630650)
ou, en élevant les deux membres à la n.ième puissance, et effaçant de part et d’autre
![{\displaystyle k<n\delta {\sqrt[{n}]{z^{n-1}}}+{\frac {n(m-1)}{2}}\delta ^{2}{\sqrt[{n}]{z^{n-2}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d6a99b18c05c739432d4ac5ade6ca97d59d501)
