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or, on peut toujours prendre $x$ assez grand pour que la fraction ${\frac {a}{x}}$ devienne moindre qu’une quantité donnée, si petite qu’on voudra la supposer ; le facteur radical tend donc sans cesse à devenir l’unité ; et par suite la courbe tend sans cesse à se confondre avec le système des deux droites données par l’équation

$y=\pm {\frac {b}{a}}x.$

Il n’est pas difficile de montrer combien ce raisonnement est fautif. Concevons, en effet, que l’on transporte l’origine à l’un des sommets, l’équation de la courbe deviendra

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}+2ab^{2}x=0\,;$

d’où on tirera

$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}+2ax}}=\pm {\frac {b}{a}}x{\sqrt {1+2{\frac {a}{x}}}}.$

Or, on peut toujours prendre $x$ assez grand pour rendre ${\frac {a}{x}}$ si petit qu’on le voudra, et par suite le facteur radical si voisin qu’on voudra de l’unité ; donc, en raisonnant comme ci-dessus, on se trouverait conduit à conclure que les asymptotes de la courbe ont pour équation commune

$y=\pm {\frac {b}{a}}x\,;$

de sorte qu’alors ces asymptotes se trouveraient se couper à l’un des sommets.

On est aujourd’hui plus rigoureux, et l’on emploie généralement, pour la recherche des asymptotes le développement en série de la valeur de l’ordonnée en fonction de l’abscisse. Cette méthode, outre la rigueur, offre encore l’avantage de s’appliquer indistincte-