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fondraient alors tous deux avec l’origine ; de sorte que les deux courbes auraient en ce point un contact du troisième ordre. L’équation

$y^{2}+2axy+Bx^{2}+2cx=0,\qquad$(5)

où $B$ est indéterminé, est donc l’équation commune à toutes les lignes du second ordre qui ont avec la courbe (1), à l’origine, un contact du troisième ordre. Dans ce cas les deux courbes ne peutent plus se couper autre part.

Quelles que soient la nature de la courbe (1) et sa situation par rapport aux axes, la courbe (4) peut fort bien devenir un cercle, puisqu’il ne s’agit pour cela que de supposerà la fois $A=0$ et $B=1.$ Ainsi, il y a, pour chaque point d’une ligne du second ordre, un cercle qui a avec la courbe, en ce point, un contact du second ordre. C’est ce cercle qu’on appelle le cercle osculateur de la courbe ; il la coupe, en outre, en un autre point.

Mais l’équation (5) ne saurait devenir celle d’un cercle, qu’autant qu’on aurait déjà, dans l’équation (1), $a=0$ ; c’est-à-dire, qu’autant que l’origine des coordonnées serait un des sommets de la courbe ; c’est-à-dire, qu’un cercle ne saurait avoir avec une ligne du second ordre, en l’un de ses points, un contact du troisième ordre qu’autant que ce point est un des sommets de la courbe.

La courbe (2) variant sans cesse, la corde commune (3) avec la courbe (1) demeurera constamment parallèle à elle-même si le rapport demeure constant. Or, cest ce qui arrivera, en particulier, si, $A$ et $B$ demeurant constans, on fait seulement varier $C,$ dans l’équation (2) ; et cela quelles que soient d’ailleurs les valeurs constantes de $A$ et $B$ ; donc, il en sera ainsi, en particulier, lorsqu’on aura $A=0$ et $B=1,$ c’est-à-dire, lorsque l’équation (2) exprimera un cercle ; ainsi, tant de cercles qu’on voudra, tangens en un même point à une ligne du second ordre, la coupent de manière que les cordes qui joignent les points d’intersec-