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Généralement, si les deux courbes ont seulement $m-n$ sécantes communes comprenant conséquemment $m^{2}-mn$ de leurs points d’intersection ; les $mn$ points d’intersection restans appartiendront à une ligne du m.^ième ordre.

II. Si plusieurs lignes du m.^ième ordre, ayant $m$ sécantes communes, réelles ou idéales, sont coupées par une transversale curviligne du même ordre, et ayant avec elles $m-n$ sécantes communes ; il y aura, sur chaque courbe, $mn$ points d’intersection, situés sur une ligne du n.^ième ordre, et toutes les lignes du n.^ième ordre auront pour sécantes communes les $n$ autres sécantes communes, qui n’appartiennent pas à la transversale.

Dans le cas particulier de $n=1,$ ce théorème devient :

Si plusieurs lignes du m.^ième ordre, ayant $m$ sécantes communes, sont coupées par une transversale curviligne de même ordre, ayant avec elles $m-1$ sécantes communes ; cette transversale déterminera, sur chaque courbe, une nouvelle sécante, et toutes ces sécantes iront se croiser en un point unique, situé sur la m.^ième sécante qui n’appartient pas à la transversale.

III. Si deux lignes de m.^ième ordre ont respectivement, avec une troisième ligne de cet ordre, $m$ sécantes communes, réelles ou idéales, et d’ailleurs quelconques ; les $m^{2}$ points, réels ou imaginaires, communs aux deux premières courbes et les $m^{2}$ points communs aux deux systèmes de sécantes se trouveront sur une même ligne du n.^ième ordre.

IV. Si deux lignes du m.^ième ordre ont respectivement, avec une troisième du même ordre, $m$ sécantes communes, toutes issues d’un même point, elles auront aussi entre elles $m$ sécantes communes issues de ce point^[1].

1. Le géomètre qui indique ces théorèmes ajoute qu’ils ont leurs analogues pour les surfaces courbes, en appelant plan sécant commun à deux surfaces du m.^ième ordre le plan d’une courbe de même ordre, suivant laquelle se coupent ces surfaces.