Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/381

${\begin{aligned}&2\operatorname {Cos} .A\operatorname {Sin} .A'=\operatorname {Sin} .(A+A')-\operatorname {Sin} .(A-A'),\\&2\operatorname {Cos} .B\operatorname {Sin} .B'=\operatorname {Sin} .(B+B')-\operatorname {Sin} .(B-B'),\\&2\operatorname {Cos} .C\operatorname {Sin} .C'=\operatorname {Sin} .(C+C')-\operatorname {Sin} .(C-C'),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&2\operatorname {Cos} .Q\operatorname {Sin} .Q'=\operatorname {Sin} .(Q+Q')-\operatorname {Sin} .(Q-Q'),\\&2\operatorname {Cos} .R\operatorname {Sin} .R'=\operatorname {Sin} .(R+R')-\operatorname {Sin} .(R-R'),\\&2\operatorname {Cos} .S\operatorname {Sin} .S'=\operatorname {Sin} .(S+S')-\operatorname {Sin} .(S-S')\,;\end{aligned}}$

Prenant les sommes d’équations dans les deux séries, et avant égard aux équations (9) et (10), il viendra en divisant par deux

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .A'+\,\operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .B'+\,\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .C'+\ldots \\&\qquad +\operatorname {Sin} .Q\operatorname {Sin} .Q'+\,\operatorname {Sin} .R\operatorname {Sin} .R'+\,\operatorname {Sin} .S\operatorname {Sin} .S'=0,&(11)\\&\operatorname {Cos} .A\operatorname {Sin} .A'+\,\operatorname {Cos} .B\operatorname {Sin} .B'+\,\operatorname {Cos} .C\operatorname {Sin} .C'+\ldots \\&\qquad +\operatorname {Cos} .Q\operatorname {Sin} .Q'+\,\operatorname {Cos} .R\operatorname {Sin} .R'+\,\operatorname {Cos} .S\operatorname {Sin} .S'=0,&(12)\\\end{aligned}}$

Si l’on prend la somme des produits respectifs de ces deux équations d’abord par $+\operatorname {Sin} .X$ et $+\operatorname {Cos} .X,$ puis par $+\operatorname {Cos} .X$ et $-\operatorname {Sin} .X,$ on aura, quel que soit l’angle X,

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .(A-X)\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Cos} .(B-X)\operatorname {Sin} .B'+\ldots \\&\qquad \qquad +\operatorname {Cos} .(R-X)\operatorname {Sin} .R'+\operatorname {Cos} .(S-X)\operatorname {Sin} .S'=0,\quad (13)\\&\operatorname {Sin} .(A-X)\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Sin} .(B-X)\operatorname {Sin} .B'+\ldots \\&\qquad \qquad +\operatorname {Sin} .(R-X)\operatorname {Sin} .R'+\operatorname {Sin} .(S-X)\operatorname {Sin} .S'=0,\quad \ \ (14)\end{aligned}}$

Cela posé, admettons que $a,b,c,\ldots q,r,s$ soient des rayons vecteurs d’une planète ou d’une comète, et que $A,B,C,\ldots Q,R,S$ soient les angles qu’ils forment respectivement avec une droite menée arbitrairement dans leur plan, par le centre du soleil. Soient $X$ l’angle que fait la ligne des apsides avec la même droite, $p$ le paramètre de l’orbite et $\lambda$ le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, $<1$ pour l’ellipse, $=1$ pour la parabole et $>1$ pour l’hyperbole, on aura