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substituant ces valeurs dans celle de $\lambda ,$ il viendra

$\lambda =-{\frac {\sqrt {a^{2}a'^{2}+b^{2}b'^{2}+c^{2}c'^{2}+2bb'cc'\operatorname {Cos} .A'+2cc'aa'\operatorname {Cos} .B'+2aa'bb'\operatorname {Cos} .C'}}{bc\operatorname {Sin} .A'+ca\operatorname {Sin} .B'+ab\operatorname {Sin} .C'}}.$(15)

Ainsi, trois rayons vecteurs étant donnés de grandeur et de situation, on en pourra déduire, par des calculs très-symétriques, la grandeur et la situation de l’orbite.

Ces diverses formules sont connues depuis long-temps^[1] ; mais il ne paraît pas qu’on ait remarqué encore qu’elles ne sont que des cas particuliers d’autres formules plus générales que nous allons faire connaître.

Soient $a,b,c,d,\ldots p,q,r,s$ des longueurs quelconques en nombre impair ; posons

${\begin{array}{rl}b-c+\,d-\ldots -q+r-s&=a',\\c-d+\,e-\ldots -r+s-a&=b',\\d-e+f-\ldots -s+a-b&=c',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\r-s+a-\ldots -m+n-p&=q',\\s-a+\,b-\ldots -\,n+\,p-q&=r',\\a-\,b+\,c-\ldots -\,p+\,q-r&=s'\,;\end{array}}$

il en résultera

1. Voy. Annales, tom. IV, pag. 197.
   J. D. G.