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${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(A-X)\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Cos} .(B-X)\operatorname {Sin} .B'+\operatorname {Cos} .(C-X)\operatorname {Sin} .C'=0,&\quad (10),\\\\\operatorname {Sin} .(A-X)\operatorname {Sin} .A'+\ \operatorname {Sin} .(B-X)\operatorname {Sin} .B'+\,\operatorname {Sin} .(C-X)\operatorname {Sin} .C'=0.&\quad (11).\end{aligned}}$

Cela posé, soient $a,b,c$ trois rayons vecteurs d’une planète ou d’une comète, et $A,B,C$ les angles que font leurs directions respectives avec une droite tracée arbitrairement dans leur plan, par le centre du soleil. Soient $X$ l’angle que fait la ligne des apsides avec la même droite, $p$ le paramètre de l’orbite et $\lambda$ le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, $<1$ pour l’ellipse, $=1$ pour la parabole, et, $>1$ pour l’hyperbole ; on aura

$\left.{\begin{aligned}&2a\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(A-X)\right]=p,\\&2b\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(B-X)\right]=p,\\&2c\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(C-X)\right]=p,\\\end{aligned}}\right\}\quad$(12)

En prenant la somme des produits respectifs de ces équations par $bc\operatorname {Sin} .A',$$ca\operatorname {Sin} .B',\ ab\operatorname {Sin} .C',$ et ayant égard à l’équation (10), il viendra

$2abc(\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Sin} .B'+\operatorname {Sin} .C')=(bc\operatorname {Sin} .A'+ca\operatorname {Sin} .B'+ab\operatorname {Sin} .C')p,$

d’où

$p=2.{\frac {\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Sin} .B'+\operatorname {Sin} .C'}{{\frac {\operatorname {Sin} .A'}{a}}+{\frac {\operatorname {Sin} .B'}{b}}+{\frac {\operatorname {Sin} .C'}{b}}}}.\qquad$(13)

En prenant la somme des produits des trois mêmes équations respectivement par $a',b',c'$ et ayant égard aux relations (1) et (2) il viendra, en divisant par $2\lambda$