Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/374

$\operatorname {Cos} .(A-A')+\operatorname {Cos} .(B-B')+\operatorname {Cos} .(C-C')$

$-\operatorname {Cos} .(A+A')-\operatorname {Cos} .(B+B')-\operatorname {Cos} .(C+C')=0,\quad$(6)

$\operatorname {Sin} .(A+A')+\operatorname {Sin} .(B+B')+\operatorname {Sin} .(C+C')$

$-\operatorname {Sin} .(A-A')-\operatorname {Sin} .(B-B')-\operatorname {Sin} .(C-C')=0.\quad$(7)

En vertu des formules connues

${\begin{aligned}&2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y=\operatorname {Cos} .(x-y)-\operatorname {Cos} .(x+y),\\&2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y=\operatorname {Sin} .(x+y)-\operatorname {Sin} .(x-y),\end{aligned}}$

on a

${\begin{aligned}&2\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .A'=\operatorname {Cos} .(A-A')-\operatorname {Cos} .(A+A'),\\&2\operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .B'=\operatorname {Cos} .(B-B')-\operatorname {Cos} .(B+B'),\\&2\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .C'=\operatorname {Cos} .(C-C')-\operatorname {Cos} .(C+C'),\\&\\&2\operatorname {Cos} .A\operatorname {Sin} .A'=\operatorname {Sin} .(A+A')-\operatorname {Sin} .(A-A'),\\&2\operatorname {Cos} .B\operatorname {Sin} .B'=\operatorname {Sin} .(B+B')-\operatorname {Sin} .(B-B'),\\&2\operatorname {Cos} .C\operatorname {Sin} .C'=\operatorname {Sin} .(C+C')-\operatorname {Sin} .(C-C').\end{aligned}}$

Ajoutant membre à membre les équations de chacune des deux séries, en ayant égard aux équations (6) et (7), et divisant par deux, il viendra

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .A'+\,\operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .B'+\,\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .C'=0,&\qquad (8)\\\operatorname {Cos} .A\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Cos} .B\operatorname {Sin} .B'+\operatorname {Cos} .C\operatorname {Sin} .C'=0.&\qquad (9)\end{aligned}}$

En prenant, tour-à-tour, la somme des produits respectifs de ces deux dernières équations, d’abord par $+\operatorname {Sin} .X$ et $+\operatorname {Cos} .X,$ puis $+\operatorname {Cos} .X$ et $-\operatorname {Sin} .X,$ on aura, quel que soit l’angle $X,$