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$Dx+Ey+D\alpha +E\beta =0,$

ou bien

$D(x+\alpha )+E(y+\beta )=0.$

Or, on satisfait à cette équation, quels que soient $D$ et $E,$ en posant

$x=-\alpha ,\qquad y=-\beta \,;$

ce sont donc là les coordonnées d’un point fixe par lequel passe constamment la polaire de l’origine, quelle que soit d’ailleurs celle des courbes, passant par les quatre points dont il s’agit, à laquelle cette polaire est relative. En observant donc qu’ici l’origine des coordonnées est un quelconque des points du plan de ces courbes, on obtiendra ce théorème :

THÉORÈME I. Les polaires d’un même point d’un plan, relatives à toutes les lignes du second ordre qui passent par les quatre mêmes points de ce plan, concourent toutes en un même point.

Et de là, par la théorie des polaires réciproques,

THÉORÈME II. Les pôles d’une même droite tracée sur un plan, relatifs à toutes les lignes du second ordre qui touchent les quatre mêmes droites tracées sur ce plan, appartiennent tous à une même droite.

Si l’on suppose que la première droite s’éloigne à l’infini, son pôle relatif à chacune des courbes dont il s’agit, ne sera autre chose que le centre de cette courbe ; ce qui donnera ce troisième théorème ;

THÉORÈME III. Les centres de toutes les lignes du second ordre qui touchent les quatre mêmes droites appartiennent tous à une même droite^[1].

1. Il a été démontré (Annales, tom, XII, pag. 109 et tom. XIV, pag.