Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/365

ci-dessus, changer, dans cette formule, $m$ en $m-1$ ; ce qui donnera

${\frac {m-1}{1}}.{\frac {m-2}{2}}.{\frac {m-3}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n-1}}.\qquad (A)$

Qu’il soit question présentement d’opérer des combinaisons $n$ à $n,$ en adoptant une lettre quelconque pour première lettre, on pourra la combiner avec toutes les combinaisons de $n-1$ lettres qui ne la contiennent pas ; ce qui en produira un nombre (A). Si l’on en fait de même, tour-à-tour, pour chacune des $m$ lettres, on obtiendra un nombre total de combinaisons égal à $m$ fois (A) ; mais il est clair que, de cette sorte, chaque combinaison aura été répétée $n$ fois ; car, par exemple, la combinaison $abc\ldots gh$ aura été obtenue en combinant

${\begin{array}{lll}a&\mathrm {avec} &bc\ldots gh,\\b&\mathrm {avec} &ac\ldots gh,\\c&\mathrm {avec} &ab\ldots gh,\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \\g&\mathrm {avec} &abc\ldots h,\\h&\mathrm {avec} &abc\ldots g\,;\end{array}}$

donc, pour obtenir le nombre des combinaisons réellement différentes de nos $m$ lettres $n$ à $n$, il faudra multiplier seulement le nombre (A) par ${\frac {m}{n}}$ ; ce qui donnera

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}},$

comme nous l’avions d’abord soupçonné. Il demeure donc établi, par ce qui précède, que, si la loi d’abord entrevue se soutient pour