Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/361

$D\theta =\operatorname {Log} .{\frac {r}{a}}\,;$

et c’est en effet le résultat trouvé à la page 169.

L’équation de la courbe décrite par l’extrémité du fil est, dans ce cas, celle de la courbe suivant laquelle la surface développable engendrée par ce fil rencontre le plan des $xy$ ; on aura donc, pour l’équation polaire de cette courbe,

$\theta ={\frac {1}{D}}\operatorname {Log} .\left(-{\frac {1}{a\operatorname {Tang} .\alpha \int {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}}}\right)\,;$

d’où on conclut, en différentiant

$D\operatorname {d} \theta =-a\operatorname {Tang} .\alpha \int {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}.{\frac {1}{a\operatorname {Tang} .\alpha }}.{\frac {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}{\left(\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}\right)^{2}}}={\frac {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}{\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}}},$

ou bien

$-D={\frac {1}{r\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}}},\quad$et$\quad -\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} r}}={\frac {1}{Dr}}\,;$

puis, en différentiant de nouveau,

$\operatorname {d} \theta ={\frac {1}{D}}{\frac {\operatorname {d} r}{r}}\,;$

ce qui donne, en intégrant,

$D\theta =\operatorname {Log} .{\frac {r}{b}}\,;$

équation d’une autre spirale logarithmique, comme on l’avait déjà trouvé à la page 171.