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$r=v^{2}\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )\operatorname {Tang} .\alpha ,\qquad \theta =\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha ).$

En différentiant la seconde et y mettant pour $\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )$ sa valeur, donnée par la première, on aura,

${\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}={\frac {\operatorname {d} v}{v^{2}\operatorname {Tang} .\alpha }},\quad$d’où$\quad \int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}=-{\frac {1}{v\operatorname {Tang} .\alpha }}\,;$

de sorte que l’équation polaire cherchée sera

$\theta =\operatorname {f} \left(-{\frac {1}{\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}}}\right).$

Si, par exemple, on suppose

$\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )={\frac {v\operatorname {Tang} .\alpha }{a}}$

on aura

$\theta =-{\frac {1}{a\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}}}\quad$d’où$\quad a\theta \int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}+1=0\,;$

puis en différentiant, divisant par $\operatorname {d} \theta$ et éliminant $\int {\frac {\operatorname {d} \theta }{r}}$

$r=a\theta ^{2}.$

C’est en effet le résultat (12) trouvé à la page 163, pour ce cas particulier.

Pour avoir la seconde équation de la développante, on prendra la somme des quarrés des équations (4) ce qui donnera

$\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}\right)^{2}=\left\{1+v^{2}\operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha ,$

d’où