Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/357

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}&={\frac {x-t}{z-v}}={\frac {x-v\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right].\operatorname {Tang} .\alpha }{z-v}},\\\\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}&={\frac {y-u}{z-v}}={\frac {y-v\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right].\operatorname {Tang} .\alpha }{z-v}}.\end{aligned}}\right\}$ (5)

En égalant ces valeurs aux précédentes, on trouvera

$\left.{\begin{aligned}x&=\left\{z\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]-v(z-v)\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha ,\\\\y&=\left\{z\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+v(z-v)\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha .\end{aligned}}\right\}$(6)

Si l’on fait la somme des quarrés de ces valeurs, on trouvera

$x^{2}+y^{2}=\left\{z^{2}+v^{2}(z-v)^{2}\operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )\right\}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha ,$

ou bien

$v(z-v)\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )\operatorname {Tang} .\alpha =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}\,;\qquad$ (7)

et telle est l’équation qui donnera la valeur de $v,$ quand $x,y,z$ seront donnés.

En faisant ensuite la somme des produits respectifs des équations (6) par $\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]$ et $\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]$ on trouvera

${\frac {x}{z\operatorname {Tang} .\alpha }}\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+{\frac {y}{z\operatorname {Tang} .\alpha }}\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]=1.$ (8)

Cette équation, après la substitution de la valeur de $v$ donnée par l’équation (7), sera celle de la surface développable lieu des tangentes à la courbe conique.

Pour connaître l’intersection de cette surface avec le plan des $xy,$ on fera $z=0$ dans les équations (7) et (8), ce qui donnera

$v^{2}\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )\operatorname {Tang} .\alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

$x\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+y\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]=0\,;$

ou bien, en passant aux coordonnées polaires,